高中数冒险岛乌里卡学:用样本估计总体知识点

时间:2020-01-14 17:21:45 作者:admin

1、数据的两个特征:集中趋势和波动性。集中趋势指的是数据的“一般水平”或曰“平均水平”,波动性指的是数据围绕“平均值”的变化情况。

2、反映数据“大多数水平”(集中趋势)的量——众数

众数:即样本数据中频数最大(或频率最高)的数据。

特点:可以不存在或不止一个;

不受极端数据的影响,求法简单;

可靠性差,如,,2,3,5这组数据中,众数是,它很难真实反映这组数据的“平均水平”(集中趋势);

众数在难以定义“平均数”或“中位数”时常用,故一般可用于统计非数字型数据,如“牛,羊,马,鱼,牛”这组数据中,众数是“牛”;

众数在销售统计中常用

3、反映数据“中间水平”(集中趋势)的量——中位数

中位数:把一组数据按从小到大的数序排列,在中间的一个数字(或两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数。

特点:中位数把样本数据分为两部分,一部分大于中位数,另一部分小于中位数;

中位数不受少数几个极端值的影响;

由于当样本数据为偶数个时,中位数等于中间两个数据的平均值,因此有时中位数未必在样本数据中

4、反映数据“平均水平”(集中趋势)的量——平均数

平均数:所有数据之和再除以数据的个数所得值,又称算术平均数。

公式:

特点:一般情况下能有效地反映数据的集中趋势;但易受极端值的影响,在极差较大的情况下,不如众数和中位数准确;

5、反映数据“波动范围”的量——极差

极差(R):一组测量数据中,最大值与最小值之差称为极差

特点:极差只指明了测定值的最大离散范围,而未能利用全部测量值的信息,不能精确反映测量值彼此相符合的程度;但计算简单

6、反映数据“波动大小”的量——方差

方差:样本中各数据与样本平均数的差的平方的平均数叫做样本方差(或均方差),随机变量X的方差可记作:S2(或D(X))。

特点:方差越大,数据的波动性越大;

7、反映数据“波动大小”的量——标准差

标准差:方差的平方根,记作S。

特点:标准差越大,数据的波动性越大;

8、用样本来估计总体:一般情况下,如果总体的容量较大,不便分析其数据特征,我们可以通过随机抽取一定的样本,通过样本的数据特征来对总体的数据特征进行估计;但难免有一定误差。

考点一合理选择统计量

例1、有一首打油诗“张村有个张千万,隔壁九个穷光蛋,平均起来算一算,人人都是张百万。”这首诗反映了什么现象?如何选择恰当的统计量来反映该村的收入水平?某次数学考试,婷婷得到78分。全班共30人,其他同学的成绩为1个100分,4个90分,22个80分,以及1个2分和1个10分。婷婷计算出全班的平均分为77分,所以婷婷告诉妈妈说,自己这次的成绩在班上处于“中上水平”。她说得对吗?如何选择恰当的统计量来反映她的成绩在班上的真实位置?

分析:在极差较大的情况下,用平均数来反映数据的特征往往出现较大的偏差,具体表现为标准差较大,如打油诗中数据的标准差达到了惊人的3000000,而婷婷班上成绩数据的标准差也达到了19.93,所以才会出现基本上都是不名一文的村子却“人人都是百万富翁”以及排名倒数第三的成绩成了“中上水平”的不正常现象。

解析:上述现象表明:平均数受极端值影响较大,在极差较大的情况下,不宜用平均数来刻画数据的数字特征,可选用众数或中位数。

考点二从统计图表中提取样本的数字特征

例2、已知一组数据共有二十个,它的频率分布直方图如下(纵轴表示频率):

试根据上图写出该组数据的中位数,众数,平均数并求其标准差。

分析:了解频率分布直方图的意义;了解所求各量的意义。

解析:由图可知:该组数据的中位数是,众数是5,平均数

标准差S=1.64

说明:如果已知各数据的频率,则求平均值时对频率与对应数据的积求和即可,即

考点三反映数据集中趋势的常用量——平均值

例3、在一次射击训练中,甲乙两位选手分别进行了10次射击测试,中靶成绩如下:

根据上表数据计算,谁的成绩更好?

分析:本题是根据10次测试的成绩来对选手的竞技状态进行评价,属于根据样本来对总体进行估计;两组数据的极差均不大,因此可选用平均数来进行估计。

解析:,因为,因此甲的成绩好于乙的成绩。

考点四反映数据波动性的常用量——方差或标准差

例4、甲乙两位选手在射击训练中的测试成绩如下:

根据上表回答:

哪位选手的状态更好?

按照历次比赛的数据统计,获奖选手平均中靶的环数至少为9.5,那么应该派哪位选手参赛较好?

分析:以这10次测试的平均成绩来进行估计;经过计算可知,两位选手的平均成绩都不超过9.5,可结合稳定性来考虑;显然,稳定性越好,获奖的可能性越小。

解析:,因此两位选手的平均成绩是相同的;但是,S甲=0.67,S乙=1.25,因为S甲乙,所以甲发挥得更稳定;

由于,且S甲乙,因此可派出乙选手参加比赛。

说明:对第二个问题的处理,也可结合众数进行。甲的数据的众数是9,乙的数据的众数是10和9,反映出大多数情况下,甲能打出9环,而乙能打出9环或10环。

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